ТГК требует оплату за подогрев воды и за неиспользованную тепловую энергию

Ничего не платите.

А лучше жалобу в ГЖИ и далее в суд.

Только через суд

не должны

В вашем случае следует обратиться с заявлением (ст. 2 Федерального закона от 02.05.2006 N 59-ФЗ "О порядке рассмотрения обращений граждан") в надзорный орган - Государственную жилищную инспекцию (ГЖИ). В нем подробно изложить все обстоятельства, известные вам по данному вопросу, приложить документы, подтверждающие ваши доводы, указать, что вы конкретно хотите от надзорного органа.

Заявление может быть написано в свободной форме. Тем не менее, рекомендую проанализировать какие конкретно правовые основания для обращения имеются у вас, а также сослаться на конкретные нормы права, которые обосновывают вашу правовую позицию. Иначе велика вероятность получить от ГЖИ "отписку", а не решение проблемы.

В случае, если ответ вас не удовлетворит, он не будет законным и обоснованным, проблема не будет решена, следует обратиться с заявлением на бездействие ГЖИ в Прокуратуру (ст. 10 Федеральный закон от 17.01.1992 N 2202-1 (ред. от 24.07.2023) "О прокуратуре Российской Федерации"). Если вопрос опять не будет решен - в суд, в порядке ст 131, 132 ГПК.

Для более детальной консультации необходимо более подробно знакомиться с обстоятельствами вашего дела и имеющимися у вас документами. Обращайтесь в личные сообщения.