Сын хочет прописать внебрачного ребёнка к себе в квартиру, с законной женой не развёлся мы против прописки ребёнка

Если ребенок несовершеннолетний, даже ваши возражения против его прописки в квартиру не будут приняты во внимание. В первую очередь будут учитываться права несовершеннолетнего ребенка.

В соответствии со ст. 20 Гражданского кодекса РФ местом жительства несовершеннолетних, не достигших 14 лет, или граждан, находящихся под опекой, признается место жительства их законных представителей – родителей, усыновителей или опекунов.

Если в квартире зарегистрирован отец, то ребенка можно будет прописать в ней даже без непосредственного согласия самого отца. В данном случае это касается и жилья, которое не находится в собственности.

Согласно ст. 679 ГК РФ с согласия наймодателя, нанимателя и граждан, постоянно с ним проживающих, в жилое помещение могут быть вселены другие граждане в качестве постоянно проживающих с нанимателем. При вселении несовершеннолетних детей такого согласия не требуется. Вселение допускается при условии соблюдения требований законодательства о норме общей площади жилого помещения на одного человека, кроме случая вселения несовершеннолетних детей.

Поставить на регистрационный учет ребенка может абсолютно любой законный представитель его интересов. (цитата, автор Константин Алексеев)

"к себе в квартиру" - простите, а какое отношение вы имеете к личной квартире сына?

Нет, это его квартира, судя по изложенному. Он может кого угодно прописать в своей квартире.

Если ваш сын является владельцем квартиры, то ничто и никто не может ему прописать кого-то в свою квартиру.

Нет в законе запрета на регистрацию. Отец зарегистрирует своего ребенка. Согласия кого-либо ему не требуется

Если у сына в квартире прописка есть, то вашего согласия даже не требуется по закону. Если прописки нет - тогда не сможет прописать ребенка.

Нет, если сын - собственник жилья, то повлиять на его решение Вы не можете.

Добавлю : даже если сын не является собственником квартиры, но зарегистрирован в ней, он сможет зарегистрировать и своего ребенка без вашего согласия.

По закону ребенок регистрируется по месту регистрации родителей или ОДНОГО из родителей.