Кто должен возмещать ущерб от прорыва батареи в сдаваемой студии?

Нет, квартирант ни в чем не виноват.

Ваша же степень ответственности зависит от того, где конкретно был прорыв - до вентиля - УК отвечает, после вентиля - вы, если не докажите, что прорыв был связан с неправильной эксплуатацией системы отопления в целом

Если к вам предъявили судебный иск - надо готовиться к судебному разбирательству. Для этого вам понадобятся правовые аргументы и доказательства к ним, чтобы суд полностью отклонил исковые требования, ну или минимизировал ваш ущерб/обязательства.

Обратитесь к юристу в личные сообщения, предоставьте исковое заявление (с приложениями, если они есть), иные документы, которые могут иметь отношения к данному делу.

Юрист проанализирует правовую позицию истца, оценит правомерность его исковых требований, представленные доказательства, разработает для вас позицию по защите с учетом ваших прав и интересов, подготовит письменные мотивированные возражения и иные процессуальные документы (ходатайства, заявления) при необходимости, которые вы сможете предоставить суду. Проконсультирует по дальнейшим действиям, по тактике защиты и по поведению в суде, в зависимости от конкретных обстоятельств вашего дела.

Смотрите ст. 35 ГПК РФ "Права и обязанности лиц, участвующих в деле", ст. 56 ГПК РФ "Обязанность доказывания", ст. 149 ГПК РФ. "Действия сторон при подготовке дела к судебному разбирательству".

Не видя документов, юрист вам помочь не сможет.