Может ли третье лицо ознакомиться с материалами дела об установлении отцовства?

Да, как лицо, чьи права и интересы затрагивает судебный акт, Вы вправе обратиться в суд с заявлением об ознакомлении с материалами дела и получении копии решения, даже если дело передано в архив. Суд обязан предоставить доступ к материалам. Это основание также позволяет Вам обжаловать решение, если оно нарушает Ваши права. Решение суда об установлении отцовства вступило в законную силу, и СОГАЗ ссылается именно на него при требовании возврата выплат - Вы уже получили от СОГАЗ письменное требование с указанием реквизитов.

Можете и с материалами дела обзнакомиться и копию решения получить и восстановив срок -обжаловать судебное решение при несогласии с ним

Вы имеете право ознакомиться с материалами дела, в котором выступали третьим лицом, а также получить копию решения суда, даже если дело уже находится в архиве.

Если Вы указаны в деле, как третье лицо (в определении о привлечении или в иных материалах дела), суд обязан предоставить вам доступ к материалам и выдать копии решений.

Если не согласны с решением суда, обжалуйте через апелляцию путем восстановления сроков, если они были пропущены.

ст. 34, 35, 112, 320, 330 ГПК РФ

Да, вы имеете право на это если вы привлечены были судом в качестве 3 лица.