Вопросы гражданки РФ о регистрации брака на Украине, изменении фамилии и получении документов для пересечения границы

Я гражданка РФ, прописана в Московкой области (г. Видное), работаю и живу в Москве. Неделю назад вышла замуж на территории Украины за гражданина Украины. На руках имеется св-во о заключении брака (на украинском языке) и его нотариально заверенный перевод. Фамилию в браке не меняла. Вопросы:

1. Могу ли я поставить в паспорт штамп о заключении брака в Московском ЗАГСе или это нужно делать в ЗАГСе по прописке? Какие документы для этого нужны?

2. Хочу поменять свою фамилию на фамилию мужа. Для этого достаточно оригинала свидетельства о браке и его нотариально заверенный перевод или нужен апостиль?

3. Муж работает в Москве, имеет разрешение на работу (срок истекает через 5 месяцев). Каждые 3 месяца вынужден пересекать границу. Загранпаспорта нет, границу пересекает по внутреннему украинскому паспорту. Хотим сделать ему разрешение на временное проживание, но слышала, что РВП ставят в паспорт. Следовательно внутренний паспорт с такой отметкой будет недействительным на Украине. Как быть? Возможно ли получение загранпаспорта через посольство в России?

4. После получения каких документов, мужу не нужно будет пересекать каждые 3 месяца границу и получать разрешение на работу?

Спасибо.