Действителен ли договор подключения интернета, если его подписал родственник без участия и доверенности?

Действителен. Просто в отношении какого лица - зависит от обстоятельств.

ГК РФ.

"Статья 183. Заключение сделки неуполномоченным лицом

1. При отсутствии полномочий действовать от имени другого лица или при превышении таких полномочий сделка считается заключенной от имени и в интересах совершившего ее лица, если только другое лицо (представляемый) впоследствии не одобрит данную сделку.

До одобрения сделки представляемым другая сторона путем заявления совершившему сделку лицу или представляемому вправе отказаться от нее в одностороннем порядке, за исключением случаев, если при совершении сделки она знала или должна была знать об отсутствии у совершающего сделку лица полномочий либо об их превышении.

2. Последующее одобрение сделки представляемым создает, изменяет и прекращает для него гражданские права и обязанности по данной сделке с момента ее совершения.

3. Если представляемый отказался одобрить сделку или ответ на предложение представляемому ее одобрить не поступил в разумный срок, другая сторона вправе потребовать от неуправомоченного лица, совершившего сделку, исполнения сделки либо вправе отказаться от нее в одностороннем порядке и потребовать от этого лица возмещения убытков. Убытки не подлежат возмещению, если при совершении сделки другая сторона знала или должна была знать об отсутствии полномочий либо об их превышении".