Имею ли я право получить деньги за отработанные 10 дней, если по истечении этих 10 дней я вынуждена была уехать и бросить работу?

Можете. С точки зрения наличия или отсутствия трудовых правоотношений трудовой договор заключен с момента приступления к работе.

ТК РФ.

" Статья 56. Понятие трудового договора. Стороны трудового договора

Трудовой договор - соглашение между работодателем и работником, в соответствии с которым работодатель обязуется предоставить работнику работу по обусловленной трудовой функции, обеспечить условия труда, предусмотренные настоящим Кодексом, законами и иными нормативными правовыми актами, коллективным договором, соглашениями, локальными нормативными актами, содержащими нормы трудового права, своевременно и в полном размере выплачивать работнику заработную плату, а работник обязуется лично выполнять определенную этим соглашением трудовую функцию, соблюдать действующие в организации правила внутреннего трудового распорядка.

Сторонами трудового договора являются работодатель и работник.

Статья 61. Вступление трудового договора в силу

Трудовой договор вступает в силу со дня его подписания работником и работодателем, если иное не установлено федеральными законами, иными нормативными правовыми актами или трудовым договором, либо со дня фактического допущения работника к работе с ведома или по поручению работодателя или его представителя".