Оплата больничного листа для работника ОГКУ Островское лесничество - возможно ли в случае серьезного заболевания?

Будет, так как согласно ст. 2 Федерального закона от 29.12.2006 N 255-ФЗ "Об обязательном социальном страховании на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством":

1. Обязательному социальному страхованию на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством подлежат граждане Российской Федерации, а также постоянно или временно проживающие на территории Российской Федерации иностранные граждане и лица без гражданства:

1) лица, работающие по трудовым договорам, в том числе руководители организаций, являющиеся единственными участниками (учредителями), членами организаций, собственниками их имущества.

И ст. 5 того же закона:

2. Пособие по временной нетрудоспособности выплачивается застрахованным лицам при наступлении случаев, указанных в части 1 настоящей статьи, в период работы по трудовому договору, осуществления служебной или иной деятельности, в течение которого они подлежат обязательному социальному страхованию на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством, а также в случаях, когда заболевание или травма наступили в течение 30 календарных дней со дня прекращения указанной работы или деятельности либо в период со дня заключения трудового договора до дня его аннулирования.