Возможно ли вернуть 13% стоимости учебы при заочном сокращенном обучении без работы? Может ли переоформление договора на работающего родственника позволить вернуть деньги?

Нет, конечно - не с чего возвращать, если НДФЛ не платите.

Надо, но только указанных лиц - родителем за обучение своих детей в возрасте до 24 лет, налогоплательщиком-опекуном (налогоплательщиком-попечителем) за обучение своих подопечных в возрасте до 18 лет по очной форме обучения в образовательных учреждениях, - в размере фактически произведенных расходов на это обучение, но не более 50 000 рублей на каждого ребенка в общей сумме на обоих родителей (опекуна или попечителя).