Сотрудник без трудового договора в компании X подвергается проверке и предлагают подписать задним числом. Может ли это повлечь недостачу?

Проработал в компании X 3 года без трудового договора на должности кладовщик-менеджер, был уволен (переведен после реорганизации X в Y) год назад также без трудового договора на ту же должность. Теперь у них проверка и мне подсовывают договор задним числом. По нему и вопрос. В пункте права и обязанности: ... организует, контролирует, ведет отчетность.. При увольнении передает ТМЦ, находящиеся у него на учете, лицу, назначенному в установленном порядке по акту инвентаризациию. В пунке Ответственность сторон-Работник несет материальную ответственность в размере прямого действительного ущерба, непосредственно причиненного им Работадателю, (в том числе имуществу третьих лиц, находящегося к работадателя, если работадатель несет ответственность за его сохранность), а также в размере затрат либо излишних выплат на приобретение или на возмещение ущерба, причиненного Работником третьим лицам (ст.238 ТК РФ).

В компании как такого учета не ведется, все на словах, на бумажках. К складу каждый третий имеет доступ. Актов передачи имущества никому не делается. Я лишь расписываюсь в накладных при получении товара у поставщика. НИЧЕГО НЕ КРАЛ.

Согласно вышеизложенному могут ли на меня повешать недостачу, если я подпишу договор? ЗП получаю белую.