Автомобиль в собственности организации, может ли директор ездить на этом автомобиле по доверенности, а не по путевому листу?

Если ваша организация не занимается перевозкой грузов или пасажиров по договорам перевозки, а используются ТС для своих внутренних целей, то путевой лист возить не требуется

Доверенность легко заменяется документом, дублирующим функции старой доверенности, с более детальной озвучкой цели выдачи документа. Это может быть договор проката, аренды, безвозмездного пользования и т.д.

В ПДД сказано 2.1.1. Иметь при себе и по требованию сотрудников полиции передавать им, для проверки:

в установленных случаях разрешение на осуществление деятельности по перевозке пассажиров и багажа легковым такси, путевой лист, лицензионную карточку и документы на перевозимый груз, а при перевозке крупногабаритных, тяжеловесных и опасных грузов - документы, предусмотренные правилами перевозки этих грузов;

В случае остановки предложите инспектору показать, что его требование о передаче путевого листа есть случай, который относится с Вам как к водителю.

Смотрите

Приказ Министерства транспорта Российской Федерации (Минтранс России) от 18 сентября 2008 г. N 152 г. Москва

"Об утверждении обязательных реквизитов и порядка заполнения путевых листов"

III. Порядок заполнения путевого листа

9. Путевой лист оформляется на каждое транспортное средство, используемое юридическим лицом, индивидуальным предпринимателем для осуществления перевозок грузов, пассажиров и багажа автомобильным транспортом и городским наземным электрическим транспортом в городском, пригородном и междугородном сообщениях.

10. Путевой лист оформляется на один день или срок, не превышающий одного месяца.