Вопрос: что нам делать в данной ситуации и сможет ли претендовать на что-нибудь его родившийся ребенок?

Если у Вашей матери есть документы, подтверждающие, что она осуществила ему оплату за его долю, то есть исполнила со своей стороны указанный договор, то она имеет право, как обязать по суду отца заключить договор коммерческого найма, если он проживает и не хочет выезжать, так и предъявить в суд иск о его выселении, как не имеющего юридических оснований на проживание.

И пусть Вас не беспокоит, что он не будет являться на заседания, согласитесь с судьей на несколько отложений в связи с неявкой ответчика, и в случае дальнейших неявок суд имеет право вынести решение в его отсутствие, затем выписанный на основании решения исполнительный лист Ваша мать передаст в службу судебных приставов-исполнителей, пристав придет и вынесет вещи отца.

А адвоката попробуйте поменять, поскольку утверждая, что "бесполезно подавать на него в суд, так как он просто не будет на него приходить", данный адвокат что-то он не то говорит, ни одного юриста в гражданском судопроизводстве возможная неявка ответчика, от подачи иска не останавливала и не остановит...

Если отец не является собственником, то мать не обязана прописывать ни его, ни его членов семьи, то есть его ребенок ни на что претендовать не сможет.