Как мне получить компенсацию за травму колена, полученную на спортивных соревнованиях в командировке?

Нет шансов, вы это просто не докажете в суде (ст. 55-56 ГПК РФ).

Если хотите этим заняться, то в суде просите назначить экспертизу согласно ст. 79 ГПК РФ.

Статья 79. Назначение экспертизы

[Гражданский процессуальный кодекс РФ] [Глава 6] [Статья 79]

1. При возникновении в процессе рассмотрения дела вопросов, требующих специальных знаний в различных областях науки, техники, искусства, ремесла, суд назначает экспертизу. Проведение экспертизы может быть поручено судебно-экспертному учреждению, конкретному эксперту или нескольким экспертам.

2. Каждая из сторон и другие лица, участвующие в деле, вправе представить суду вопросы, подлежащие разрешению при проведении экспертизы. Окончательный круг вопросов, по которым требуется заключение эксперта, определяется судом. Отклонение предложенных вопросов суд обязан мотивировать.

Стороны, другие лица, участвующие в деле, имеют право просить суд назначить проведение экспертизы в конкретном судебно-экспертном учреждении или поручить ее конкретному эксперту; заявлять отвод эксперту; формулировать вопросы для эксперта; знакомиться с определением суда о назначении экспертизы и со сформулированными в нем вопросами; знакомиться с заключением эксперта; ходатайствовать перед судом о назначении повторной, дополнительной, комплексной или комиссионной экспертизы.

3. При уклонении стороны от участия в экспертизе, непредставлении экспертам необходимых материалов и документов для исследования и в иных случаях, если по обстоятельствам дела и без участия этой стороны экспертизу провести невозможно, суд в зависимости от того, какая сторона уклоняется от экспертизы, а также какое для нее она имеет значение, вправе признать факт, для выяснения которого экспертиза была назначена, установленным или опровергнутым.

Шанс есть. Но необходимо будет доказать в судебном порядке факт причинения травмы в период осуществления деятельности в командировке.

Для доказывания указанного обстоятельства допустимо привлечение как свидетелей, так и представление письменных и иных доказательств (при наличии)

Шансы ничтожные. Но кто не рискует тот .....

В суде надо доказать, что Вы в момент травмы были в производственной командировке.

Время обращения к врачу или вызов скорой помощи играет очень важную роль. Так же нужны будут свидетельские показания, как прямые, так и косвенные. Можете для консультаций обратиться в трудовую инспекцию, у них грамотные специалисты . Так же обратитесь за помощью к юристу на месте. Нужно грамотное сопровождение Вашего дела в суде. В любом случае дело серьёзное и Вам, без юр. образования, будет весьма не просто.