Будут ли проблемы при поездке в Абхазию у друга, стоящего на учете в военкомате в другом городе?

Да, такое возможно.

Статья 4. Обязанности должностных лиц органов государственной власти и организаций по обеспечению исполнения гражданами воинской обязанности

[Закон "О воинской обязанности и военной службе"] [Статья 4]

1. Руководители, другие ответственные за военно-учетную работу должностные лица (работники) организаций обязаны:

3. Органы внутренних дел в пределах своей компетенции обязаны:

направлять в двухнедельный срок по запросам военных комиссариатов необходимые для занесения в документы воинского учета сведения о гражданах, состоящих на воинском учете;

производить розыск и при наличии законных оснований осуществлять задержание граждан, уклоняющихся от воинского учета, призыва на военную службу или военные сборы, прохождения военной службы или военных сборов;

направлять в двухнедельный срок в военные комиссариаты сведения о случаях выявления граждан, не состоящих на воинском учете, но обязанных состоять на воинском учете.

Здравствуйте! Проблем не будет если отсутствует ограничение на пересечение границы

Согласно ст. 10 п.1 ФЗ "О воинской обязанности и военной службе" граждане обязаны состоять на ВУ по месту жительства (граждане, прибывшие на место пребывания на срок более 3-х месяцев,- по месту их пребывания).

Таким образом проблем не должнео быть.

Нет у Пограничной службы ФСБ России никаких списков уклонистов - только федеральный розыск у них имеется по ст. 328 УК РФ (Уклонение от прохождения военной и альтернативной гражданской службы).

Поэтому никаких проблем у Вас не будет.

А несостоять на учёте в военкомате можно до 3 мес..