Кто несет ответственность за лечение собаки и оплату ремонта автомобиля после ДТП в сельской местности?

Вы должны оплатить (ст. 15 ГК РФ), собака ваша собственность (ст. 137 ГК РФ)

можете подать иск на владельца автомобиля, но у вас нет док-в подтверждающих ДТП

а без них в иске будет отказано

В соответсвии с дейсвующем законодательством, ГИБДД должно было установить чья вина и зафиксировать все в протоколе, насколько я понимаю из вашего рассказа вина ваша, вы не досмотрели за собакой. Если же ГИБДД не вызывали тогда пытайтесь договориться о взаиморасчетах с владельцем автотранспортного средства участвующего в ДТП.

Сергей, Гражданским кодексом установлено, что к животным применяются общие правила об имуществе. Водитель автомобиля вправе будет предъявить Вам требования о возмещении причиненного имущественного вреда

Вина у Вас обоюдная.

правила содержания собак

2.3. Владельцы животных обязаны принимать необходимые меры, обеспечивающие безопасность окружающих людей и животных.

2.7. Выводить собаку на прогулку нужно на поводке с прикрепленным к ошейнику жетоном, на котором указаны кличка собаки, адрес владельца, телефон. Спускать собаку с поводка можно только в малолюдных местах. Злобным собакам при этом следует надевать намордник.

2.9. При переходе через улицу и вблизи магистралей владелец собаки обязан взять ее на поводок во избежание дорожно-транспортных происшествий и гибели собаки на проезжей части улиц.

Если водитель имел техническую возможность остановиться, чтобы избежать аварии, то его признают виновником дорожно-транспортное происшествия.