Как установить отцовство через суд, время и необходимые документы, возможность взыскивания расходов

Галина, согласно статье 49 Семейного кодекса:

В случае рождения ребенка у родителей, не состоящих в браке между собой, и при отсутствии совместного заявления родителей или заявления отца ребенка происхождение ребенка от конкретного лица (отцовство) устанавливается в судебном порядке по заявлению одного из родителей...При этом суд принимает во внимание любые доказательства, с достоверностью подтверждающие происхождение ребенка от конкретного лица.

Кроме того есть Постановление ВС РФ, в котором:

Суд в исковом порядке рассматривает и требования об исключении записи об отце, произведенной в актовой записи о рождении, и внесении новых сведений об отце (то есть об установлении отцовства другого лица), если между заинтересованными лицами (например, между матерью ребенка, лицом, записанным в качестве отца, и фактическим отцом ребенка) отсутствует спор по этому вопросу, поскольку в силу п. 3 ст. 47 ГК РФ аннулирование записи акта гражданского состояния полностью либо в части может быть произведено только на основании решения суда.

То есть о внесении изменений в свидетельство о рождении ребенка тоже нужно будет просить в заявлении, ведь у вас там вписано отчество.

Просить возложить расходы на ответчика тоже в исковом.

По времени - смотря какие у вас будут доказательства, против ли отец ребенка, могут назначить генетическую экспертизу, всё это в совокупности не быстрая процедура.