Мы Москвичи сняли квартиру в Москве - нам нужно вставать где то на учет по этому поводу?

Вам это не требуется.

Указанное право гражданина России закреплено в п. 29 Административного регламента.

Наталья Николаевна, добрый день!

В соответствии с примечанием к ст.19.15.1 КоАП РФ Вам не надо регистрироваться по иному месту жительства.

Статья 19.15.1. Проживание гражданина Российской Федерации по месту пребывания или по месту жительства в жилом помещении без регистрации

1. Проживание гражданина Российской Федерации по месту пребывания или по месту жительства в жилом помещении без регистрации либо допущение такого проживания нанимателем или собственником этого жилого помещения свыше установленных законом сроков - влечет наложение административного штрафа на граждан в размере от двух тысяч до трех тысяч рублей; на нанимателей, собственников жилого помещения (физических лиц) - от двух тысяч до пяти тысяч рублей; на юридических лиц - от двухсот пятидесяти тысяч до семисот пятидесяти тысяч рублей.

2. Нарушение, предусмотренное частью 1 настоящей статьи, совершенное в городе федерального значения Москве или Санкт-Петербурге, - влечет наложение административного штрафа на граждан в размере от трех тысяч до пяти тысяч рублей; на нанимателей, собственников жилого помещения (физических лиц) - от пяти тысяч до семи тысяч рублей; на юридических лиц - от трехсот тысяч до восьмисот тысяч рублей. Примечание. Граждане Российской Федерации освобождаются от административной ответственности за административное правонарушение, предусмотренное настоящей статьей, в случае: проживания без регистрации по месту пребывания в жилом помещении, находящемся в соответствующем населенном пункте субъекта Российской Федерации, если они зарегистрированы по месту жительства в другом жилом помещении, находящемся в том же или ином населенном пункте того же субъекта Российской Федерации; проживания без регистрации по месту пребывания в жилом помещении, находящемся в городе федерального значения Москве или в одном из населенных пунктов Московской области, если они зарегистрированы по месту жительства в жилом помещении, находящемся в городе федерального значения Москве или в одном из населенных пунктов Московской области; проживания без регистрации по месту пребывания в жилом помещении, находящемся в городе федерального значения Санкт-Петербурге или в одном из населенных пунктов Ленинградской области, если они зарегистрированы по месту жительства в жилом помещении, находящемся в городе федерального значения Санкт-Петербурге или в одном из населенных пунктов Ленинградской области; если они являются супругами, детьми (в том числе усыновленными), супругами детей, родителями (в том числе приемными), супругами родителей, бабушками, дедушками или внуками нанимателя (собственника) жилого помещения, имеющего регистрацию по месту жительства в данном жилом помещении; если проживающие совместно с нанимателем или собственником жилого помещения лица являются по отношению к нему супругами, детьми (в том числе усыновленными), супругами детей, родителями (в том числе приемными), супругами родителей, бабушками, дедушками или внуками.

Нет, не требуется.

Закон РФ от 25 июня 1993 г. N 5242-I "О праве граждан Российской Федерации на свободу передвижения, выбор места пребывания и жительства в пределах Российской Федерации"

Статья 5. Регистрация гражданина Российской Федерации по месту пребывания и снятие гражданина Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания

Гражданин Российской Федерации вправе не регистрироваться по месту пребывания в жилом помещении, если жилое помещение, в котором он зарегистрирован по месту жительства, находится в том же или ином населенном пункте того же субъекта Российской Федерации.

Гражданин Российской Федерации вправе не регистрироваться по месту пребывания в жилом помещении, находящемся в городе федерального значения Москве или в одном из населенных пунктов Московской области, если он зарегистрирован по месту жительства в жилом помещении, находящемся в городе федерального значения Москве или в одном из населенных пунктов Московской области.

Главное, сходить в ФМС и зарегистрироваться по месту пребывания согласно Административного регламента предоставления Федеральной миграционной службой государственной услуги по регистрационному учету граждан Российской Федерации по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации:

"25. Для регистрации по месту пребывания:

25.1. Гражданин представляет должностному лицу, ответственному за регистрацию, а при его отсутствии - собственнику жилого помещения:

заявление о регистрации по месту пребывания по форме N 1 (приложение N 2 к Регламенту), подписанное гражданином и собственником (нанимателем) жилого помещения, указанного в заявлении. Подписи заявителя и собственника (нанимателя) жилого помещения заверяются должностным лицом, ответственным за регистрацию;

документ, удостоверяющий личность (предъявляется заявителем в целях идентификации получателя государственной услуги);

документ, являющийся основанием для временного проживания в жилом помещении (договор найма (поднайма), социального найма жилого помещения, свидетельство о государственной регистрации права на жилое помещение или заявление лица, предоставившего гражданину жилое помещение для временного проживания). Для регистрации достаточно представления одного из перечисленных документов, за исключением случая, предусмотренного пунктом 29 Регламента.

При предъявлении договора, заверенного нотариально, данный документ должностным лицом, ответственным за регистрацию, не заверяется, а подпись собственника (нанимателя) жилого помещения в заявлении не проставляется. Если предъявляется договор в простой письменной форме, подписи собственника (нанимателя) жилого помещения и заявителя заверяются должностным лицом, ответственным за регистрацию.

Проживающие совместно с нанимателем жилого помещения совершеннолетние пользователи свое согласие на временное проживание гражданина выражают в письменной форме.

25.2. При направлении в орган регистрационного учета почтовым отправлением заявления о регистрации по месту пребывания по форме N 1ПР (приложение N 2 к Регламенту), подписанного заявителем и собственником (нанимателем) жилого помещения, гражданин также представляет копию документа, являющегося основанием для временного проживания гражданина в указанном жилом помещении, заверенную нотариально либо должностным лицом, ответственным за регистрацию.

25.3. При представлении в орган регистрационного учета заявления о регистрации по месту пребывания в форме электронного документа через Единый портал заявитель одновременно подает копии документа, являющегося основанием для временного проживания в заявленном им жилом помещении в электронной форме, за исключением случая, предусмотренного пунктом 29 Регламента".

Больше никаких обязанностей нет у Вас.