Если нужно, то как определяется, где мне нужно вставать на воинский учет?

Для получения временной регитсрации в г. МОскве Вам не потребуются документы, подтверждающие вашу постановку на воинский учет. Согласно "Правил

регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации" ( п. 9)

граждане, прибывшие для временного проживания в жилых помещениях, не являющихся их местом жительства, на срок свыше 10 дней, обязаны в 3-дневный срок со дня прибытия (исключая выходные и праздничные дни) обратиться к должностным лицам, ответственным за регистрацию, и представить:

документ, удостоверяющий личность;

заявление установленной формы о регистрации по месту пребывания;

документ, являющийся основанием для временного проживания гражданина в указанном жилом помещении (договоры найма (поднайма), социального найма жилого помещения или заявление лица, предоставляющего гражданину жилое помещение).

Требюовать иные документы от Вас никто не вправе. Это при временной регитсрации. Но и при постоянной регитсрации военный билет с Вас требовать не должны, это было раньше, а с 2002г. такое положение отменено. То есть теперь регитсрация и временная и постоянная (раньше прописка) не ставится в зависимость от от вашей постановки на воинский учет.

Единственно когда Вы будете работать (официально) работадель потребует от Вас, чтобы Вы привели свои дела с военкоматом в порядок.