В каких органах в Москве я должен регистрировать эти договора?

Сейчас не надо регистрировать. ИП в настоящее время ведет трудовые книжки.

ТК РФ.

"Статья 66. Трудовая книжка

Трудовая книжка установленного образца является основным документом о трудовой деятельности и трудовом стаже работника.

Форма, порядок ведения и хранения трудовых книжек, а также порядок изготовления бланков трудовых книжек и обеспечения ими работодателей устанавливаются Правительством Российской Федерации.

Работодатель (за исключением работодателей - физических лиц, не являющихся индивидуальными предпринимателями) ведет трудовые книжки на каждого работника, проработавшего у него свыше пяти дней, в случае, когда работа у данного работодателя является для работника основной.

В трудовую книжку вносятся сведения о работнике, выполняемой им работе, переводах на другую постоянную работу и об увольнении работника, а также основания прекращения трудового договора и сведения о награждениях за успехи в работе. Сведения о взысканиях в трудовую книжку не вносятся, за исключением случаев, когда дисциплинарным взысканием является увольнение.

По желанию работника сведения о работе по совместительству вносятся в трудовую книжку по месту основной работы на основании документа, подтверждающего работу по совместительству.

Статья 303. Заключение трудового договора с работодателем - физическим лицом

При заключении трудового договора с работодателем - физическим лицом работник обязуется выполнять не запрещенную настоящим Кодексом или иным федеральным законом работу, определенную этим договором.

В письменный трудовой договор в обязательном порядке включаются все условия, существенные для работника и для работодателя.

Работодатель - физическое лицо обязан:

оформить трудовой договор с работником в письменной форме;

уплачивать страховые взносы и другие обязательные платежи в порядке и размерах, которые определяются федеральными законами;

оформлять страховые свидетельства государственного пенсионного страхования для лиц, поступающих на работу впервые.

Работодатель - физическое лицо, не являющийся индивидуальным предпринимателем, также обязан в уведомительном порядке зарегистрировать трудовой договор с работником в органе местного самоуправления по месту своего жительства (в соответствии с регистрацией)".