Расскажите пожалуйста, в чем состоит отличие аспирантуры от соискательства.

Вообще Ваш вопрос к юриспруденции отношения не имеет. Отвечу на него, как кандидат наук
Минвузом предусмотрено несколько форм обучения и получения степени. Первая-это аспирантура. Бывает две формы очная и заочная. Очная аспирантура подразумевает, что вы обучаетесь и постоянно находитесь на кафедре, принимаете участие в учебном процессе, участвуете в научных разработках кафедры и т.д., т.е. Вы постоянно как бы присутствуете на кафедре и более нигде не работаете (по жизни это не всегда так). За это Вам начисляется стипендия. В наше время такая форма обучения бесплатна. Заочная аспирантура отличается тем, что Вы где-то работаете, на кафедре появляетесь только для проведения допустим экспериментов, консультации и т.д. В наше время это платная форма обучения.
Общим для этих форм является то, что Вы присутствуете в плане кафедры на подготовку специалистов и в общем случае кафедра заинтересована в том, чтобы Вы защитились в срок, хотя допускается и то, что Вы можете никогда не защититься, а только закончить обучение и пойти далее без степени. Сейчас введено облегчение, кажется уже не требуется утверждение ВАК.
Соискательство отличается тем, что Вы не присутствуете в плане кафедры, т.е. Вы учтены как соискатель, у Вас есть руководитель, но в принципе сроки защиты не оговорены, Вы можете фактически раз в 4-5 лет продлять срок обучения. Не знаю является ли это платной формой сейчас, но вероятно, Вы же работаете в другом месте.
Когда будете готовы, тогда защититесь, можно учиться лет 30-40, никто мешать не будет.
Общим для этих всех форм является то, что Вы должны обязательно сдать экзамены на степень в каждом Вузе взависимости от специальности свои. И потом защититься. Если не ошибаюсь экзамены имеют срок давности, поэтому при сосикательстве их следует сдавать перед защитой, да и вообще желательно соискательство оформлять, когда работа уже в принципе близится к концу.
Если что-то конкретное, то пишите kuligin@rdn.ru