Надо ли что-то еще делать, получать свидетельство о собственности, как-то регистрировать мое право собственности на эту квартиру?

Действительно является собственностью. Право собственности на квартиру в ЖСК возникает с момента полной выплаты пая. А отдельно получать свидетельство о собственности - как хотите. Закон о регистрации прав на недвижимое имущество признает все возникшие до его вступления в силу права действительными без регистрации по нормам этого закона. Одновременно предоставляя право перерегистрации по нормам этого закона.

Федеральный закон от 21 июля 1997 г. N 122-ФЗ

"О государственной регистрации прав на недвижимое имущество и сделок с ним"

(с изменениями от 5 марта, 12 апреля 2001 г., 11 апреля 2002 г., 9 июня 2003 г., 11 мая, 29 июня, 22 августа, 2 ноября, 29, 30 декабря 2004 г., 5, 31 декабря 2005 г., 17 апреля, 3, 30 июня, 18 июля, 4, 18 декабря 2006 г.)

"Статья 6. Признание ранее возникших прав

1. Права на недвижимое имущество, возникшие до момента вступления в силу настоящего Федерального закона, признаются юридически действительными при отсутствии их государственной регистрации, введенной настоящим Федеральным законом. Государственная регистрация таких прав проводится по желанию их обладателей.

Государственная регистрация прав, осуществляемая в отдельных субъектах Российской Федерации и муниципальных образованиях до вступления в силу настоящего Федерального закона, является юридически действительной.

2. Государственная регистрация возникшего до введения в действие настоящего Федерального закона права на объект недвижимого имущества требуется при государственной регистрации возникших после введения в действие настоящего Федерального закона перехода данного права, его ограничения (обременения) или совершенной после введения в действие настоящего Федерального закона сделки с объектом недвижимого имущества.

Государственная регистрация возникшего до введения в действие настоящего Федерального закона права на объект недвижимого имущества и государственная регистрация возникших после введения в действие настоящего Федерального закона перехода данного права, его ограничения (обременения) или совершенной после введения в действие настоящего Федерального закона сделки с объектом недвижимого имущества проводятся не позднее чем в месячный срок со дня подачи соответствующих заявлений и других необходимых для государственной регистрации права, перехода права, его ограничения (обременения) или совершенной после введения в действие настоящего Федерального закона сделки с объектом недвижимого имущества документов.

Государственная регистрация возникшего до введения в действие настоящего Федерального закона права на объект недвижимого имущества проводится при государственной регистрации перехода данного права или сделки об отчуждении объекта недвижимого имущества без уплаты государственной пошлины.

В иных случаях, предусмотренных пунктом 2 настоящей статьи, за государственную регистрацию возникшего до введения в действие настоящего Федерального закона права на объект недвижимого имущества взимается государственная пошлина в размере, равном половине установленного размера государственной пошлины за государственную регистрацию прав.

3. Право собственности на недвижимое имущество, приобретаемое в силу приобретательной давности, подлежит государственной регистрации после установления факта приобретательной давности в предусмотренном законом порядке".