Кто должен выполнять ремонт рушащейся крыши лоджии на последнем этаже?

За счет УК или ТСЖ. Это общее имущество (ст. 36 ЖК РФ). Если ремонт не производится, можете обращаться в суд с сотвествующим иском.

Статья 36. Право собственности на общее имущество собственников помещений в многоквартирном доме

1. Собственникам помещений в многоквартирном доме принадлежит на праве общей долевой собственности общее имущество в многоквартирном доме, а именно:

1) помещения в данном доме, не являющиеся частями квартир и предназначенные для обслуживания более одного помещения в данном доме, в том числе межквартирные лестничные площадки, лестницы, лифты, лифтовые и иные шахты, коридоры, технические этажи, чердаки, подвалы, в которых имеются инженерные коммуникации, иное обслуживающее более одного помещения в данном доме оборудование (технические подвалы);

2) иные помещения в данном доме, не принадлежащие отдельным собственникам и предназначенные для удовлетворения социально-бытовых потребностей собственников помещений в данном доме, включая помещения, предназначенные для организации их досуга, культурного развития, детского творчества, занятий физической культурой и спортом и подобных мероприятий;

3) крыши, ограждающие несущие и ненесущие конструкции данного дома, механическое, электрическое, санитарно-техническое и иное оборудование, находящееся в данном доме за пределами или внутри помещений и обслуживающее более одного помещения;

4) земельный участок, на котором расположен данный дом, с элементами озеленения и благоустройства, иные предназначенные для обслуживания, эксплуатации и благоустройства данного дома и расположенные на указанном земельном участке объекты. Границы и размер земельного участка, на котором расположен многоквартирный дом, определяются в соответствии с требованиями земельного законодательства и законодательства о градостроительной деятельности.

2. Собственники помещений в многоквартирном доме владеют, пользуются и в установленных настоящим Кодексом и гражданским законодательством пределах распоряжаются общим имуществом в многоквартирном доме.

3. Уменьшение размера общего имущества в многоквартирном доме возможно только с согласия всех собственников помещений в данном доме путем его реконструкции.

4. По решению собственников помещений в многоквартирном доме, принятому на общем собрании таких собственников, объекты общего имущества в многоквартирном доме могут быть переданы в пользование иным лицам в случае, если это не нарушает права и законные интересы граждан и юридических лиц.

5. Земельный участок, на котором расположен многоквартирный дом, может быть обременен правом ограниченного пользования другими лицами. Не допускается запрет на установление обременения земельного участка в случае необходимости обеспечения доступа других лиц к объектам, существовавшим до дня введения в действие настоящего Кодекса. Новое обременение земельного участка правом ограниченного пользования устанавливается по соглашению между лицом, требующим такого обременения земельного участка, и собственниками помещений в многоквартирном доме. Споры об установлении обременения земельного участка правом ограниченного пользования или об условиях такого обременения разрешаются в судебном порядке.

6. В случае разрушения, в том числе случайной гибели, сноса многоквартирного дома собственники помещений в многоквартирном доме сохраняют долю в праве общей долевой собственности на земельный участок, на котором располагался данный дом, с элементами озеленения и благоустройства и на иные предназначенные для обслуживания, эксплуатации и благоустройства данного дома объекты, расположенные на указанном земельном участке, в соответствии с долей в праве общей долевой собственности на общее имущество в многоквартирном доме на момент разрушения, в том числе случайной гибели, сноса такого дома. Указанные собственники владеют, пользуются и распоряжаются предусмотренным настоящей частью имуществом в соответствии с гражданским законодательством.