Слышал, что мне могут дать отсрочку до достижении ребенком трех лет, а что дальше?

Конечно есть:

Статья 24. Отсрочка от призыва граждан на военную службу

1. Отсрочка от призыва на военную службу предоставляется гражданам:

а) признанным в установленном настоящим Федеральным законом порядке временно не годными к военной службе по состоянию здоровья, - на срок до одного года;

б) занятым постоянным уходом за отцом, матерью, женой, родным братом, родной сестрой, дедушкой, бабушкой или усыновителем, если отсутствуют другие лица, обязанные по закону содержать указанных граждан, а также при условии, что последние не находятся на полном государственном обеспечении и нуждаются по состоянию здоровья в соответствии с заключением органа государственной службы медико-социальной экспертизы по месту жительства граждан, призываемых на военную службу, в постоянном постороннем уходе (помощи, надзоре) или являются инвалидами первой или второй группы, гражданами пожилого возраста (женщины старше 55 лет, мужчины старше 60 лет), или не достигли возраста 18 лет;

(в ред. Федерального закона от 01.12.2004 N 149-ФЗ)

в) имеющим ребенка, воспитываемого без матери;

г) имеющим двух и более детей;

д) имеющим ребенка в возрасте до трех лет;

е) мать (отец) которых кроме них имеет двух и более детей в возрасте до восьми лет или инвалида с детства и воспитывает их без мужа (жены);

ж) поступившим на работу по специальности непосредственно по окончании образовательных учреждений высшего профессионального образования на условиях полного рабочего дня в государственные организации, перечень которых определяется Правительством Российской Федерации, - на время этой работы;

В Вашем случаепункт "в", необходимую информацию следует предоставить в военкомат (соглашение о воспитании, справки с места жительства)

С уважением, Друзин Алексей