Как отправить жалобу мировому судье после возврата без подписи и нужно ли писать объяснительную записку?

Никакой объяснительной не нужно. Подайте снова (ст. 321-322 ГПК РФ)

Если не пропущен срок для подачи жалобы, то ничего дополнительно писать не нужно.

Если пропущен - нужно заявление о восстановлении пропущеннго срока.

В соответствии с ч. 2 ст. 321 ГПК РФ апелляционная жалоба может быть подана в течение месяца со дня принятия решения суда в окончательной форме, если Гражданским процессуальным кодексом РФ не установлены иные сроки.

на основании ст. 320 ГПК РФ имеете право подать апелляционную жалобу. Объяснения писать не нужно. Если пропустили срок подачи апелляционной жалобы, то вместе с жалобой пишите ходатайство о восстановлении срока на подачу жалобы.

"Гражданский процессуальный кодекс Российской Федерации" от 14.11.2002 N 138-ФЗ

(ред. от 21.07.2014)

(с изм. и доп., вступ. в силу с 06.08.2014)

Статья 320. Право апелляционного обжалования

1. Решения суда первой инстанции, не вступившие в законную силу, могут быть обжалованы в апелляционном порядке в соответствии с правилами, предусмотренными настоящей главой.

2. Право апелляционного обжалования решения суда принадлежит сторонам и другим лицам, участвующим в деле.

Не нужно менять даты в жалобе - подписывайте и отправляйте опять в суд.

Статья 136 ГПК РФ (Оставление искового заявления без движения) указывает:

"1. Судья, установив, что исковое заявление подано в суд без соблюдения требований, установленных в статьях 131 и 132 настоящего Кодекса (НЕТПОДПИСИ У ВАС), выносит определение об оставлении заявления без движения, о чем извещает лицо, подавшее заявление, и предоставляет ему разумный срок для исправления недостатков.

2. В случае, если заявитель в установленный срок выполнит указания судьи, перечисленные в определении, заявление считается поданным в день первоначального представления его в суд. В противном случае заявление считается неподанным и возвращается заявителю со всеми приложенными к нему документами.

3. На определение суда об оставлении искового заявления без движения может быть подана частная жалоба".