Может ли государственное учреждение работать без главного бухгалтера? На основании какого закона?

Теоретически - может.

Федеральный закон от 6 декабря 2011 г. N 402-ФЗ

"О бухгалтерском учете"

"Статья 7. Организация ведения бухгалтерского учета

1. Ведение бухгалтерского учета и хранение документов бухгалтерского учета организуются руководителем экономического субъекта.

2. В случае, если индивидуальный предприниматель, лицо, занимающееся частной практикой, ведут бухгалтерский учет в соответствии с настоящим Федеральным законом, они сами организуют ведение бухгалтерского учета и хранение документов бухгалтерского учета, а также несут иные обязанности, установленные настоящим Федеральным законом для руководителя экономического субъекта.

3. Руководитель экономического субъекта обязан возложить ведение бухгалтерского учета на главного бухгалтера или иное должностное лицо этого субъекта либо заключить договор об оказании услуг по ведению бухгалтерского учета, если иное не предусмотрено настоящей частью. Руководитель кредитной организации обязан возложить ведение бухгалтерского учета на главного бухгалтера. Руководитель субъекта малого и среднего предпринимательства, а также руководитель некоммерческой организации, имеющей право применять упрощенные способы ведения бухгалтерского учета, включая упрощенную бухгалтерскую (финансовую) отчетность, в соответствии с настоящим Федеральным законом, может принять ведение бухгалтерского учета на себя".