Как подтвердить период работы в проектном институте в судебном порядке?

В вашем случае могу посоветовать следующее:

Если документы о работе утрачены в связи со стихийным бедствием (землетрясением, наводнением, ураганом, пожаром и тому подобными причинами), а также по другим причинам (вследствие небрежного их хранения, умышленного уничтожения и тому подобных причин), не связанным с виной работника, и восстановить их невозможно, то такие периоды работы могут быть установлены на основании показаний двух или более свидетелей. Об этом сказано в Постановлении Пленума ВС РФ от 11.12.2012 г. № 30.

Также хочу отметить, что принятое территориальным органом ПФР решение об отказе учесть конкретный период работы по трудовому договору в общий трудовой стаж может быть обжаловано работником в вышестоящий пенсионный орган (по отношению к органу, вынесшему соответствующее решение) и (или) в суд (п. 7 ст. 18 Закона N 173-ФЗ, п. 26 Правил обращения за пенсией, назначения пенсии и перерасчета размера пенсии, перехода с одной пенсии на другую в соответствии с Федеральными законами "О трудовых пенсиях в Российской Федерации" и "О государственном пенсионном обеспечении в Российской Федерации" (утв. Постановлением Минтруда России N 17, ПФР N 19пб от 27.02.2002)).

Как показывает судебная практика, в случае обращения работника в суд вероятность включения указанного в вопросе периода работы в стаж для назначения пенсии является очень высокой (Кассационное определение Магаданского областного суда от 19.04.2011 N 33-423/2011 по делу N 2-27/2011, а также Решения Ленинского районного суда г. Оренбурга от 02.08.2012 N 2-4331/12, Советского районного суда г. Омска от 05.04.2011 N 2-909/11 (ИБ Архив решений судов общей юрисдикции)).