На что будет претендовать его внучка и какие у нее права на квартиру, если я останусь опекуном?

Уважаемый Валерий! Отношения опеки нельзя смешивать с наследственными отношениями. Сам по себе факт осуществления функций опекуна не является основанием для приобретения наследственных прав после подопечного (конечно, если опекун не является родственником подопечного и не может быть, в силу этого, призван к наследованию как наследник по закону). Поэтому при тех обстоятельствах, о которых Вы сообщили в своем вопросе, Вам в данной квартире (пользуясь Вашей терминологией) не "светит" ничего.

Соответственно, факт Вашего опекунства не является препятствием для приобретения прав на квартиру у внучки. Что касается размера ее имущественных претензий. Прежде всего: что это за внучка, какова ее родственная связь с Вашим соседом? Правильно ли я понимаю, что у Вашего соседа были еще дети (помимо недееспособной дочери) и тот из родителей этой внучки, чьим отцом был Ваш сосед, уже умер? Если это так, то внучка является наследницей по закону по праву представления и наследует наравне с недееспособной дочерью. Если хотя бы одно из моих допущений не соответствует действительности (напр., это не внучка, а внучатая племянница, и т.п.), то никаких наследственных прав она не приобретает.

Равным образом, не следует смешивать вопросы отстранения от исполнения обязанностей опекуна и вопросы имущественного характера, связанные с принадлежностью квартиры. В имущественном плане отстранение Вас от исполнения обязанностей опекуна ничего внучке не даст (хотя бы потому, что, как я уже сказал, никаких имущественных выгод от опекунства Вы не приобретете). К тому же, внучка (равно как и любое иное частное лицо) не имеет права (опять пользуюсь Вашей терминологией) "оспаривать" чужое опекунство; в соответствии с п.3 ст.39 ГК РФ, отстранение опекуна от исполнения его обязанностей производится органом опеки и попечительства.

Какие-либо права на данную квартиру Вы можете приобрести не как опекун, а как наследник по завещанию (после Вашего соседа). Если сосед составит завещание в Вашу пользу и умрет раньше своей дочери, то Вы сможете приобрести права на определенную долю в квартире. Конкретный размер этой доли без дополнительной информации (в частности, о том, каковы родственные связи между внучкой и Вашим соседом), назвать трудно, но в любом случае недееспособная дочь, в соответствии с п.1 ст.1149 ГК РФ, будет иметь право на обязательную долю в наследстве (не менее половины той доли, которая причиталась бы ей, если бы не было завещания). Могу сказать одно: даже при наличии завещания Вашего соседа, составленного в Вашу пользу, максимальный размер Вашей доли в данной квартире может составить 3/8. Поскольку после недееспособной дочери соседа Вы не сможете наследовать ни при каких обстоятельствах, то Ваша доля в праве на квартиру после ее смерти таковой и останется.

С уважением, А.Д.Руслин.