Необходимо ли отдавать оригинал результатов судебно-медицинской экспертизы в ОВД или оставить себе копию?

Вам в полицию ничего отдавать не нужно. Побои это дело частного обвинения и ваша мама должна сама обратиться в мировой суд с заявлением о привлечении соседа к уголовной ответственности. Заявление пишется согласно ст.318 УПК РФ

1. Уголовные дела о преступлениях, указанных в части второй статьи 20 настоящего Кодекса, возбуждаются в отношении конкретного лица путем подачи потерпевшим или его законным представителем заявления в суд, за исключением случаев, предусмотренных пунктом 2 части первой и частью четвертой статьи 147 настоящего Кодекса.

(часть первая в ред. Федерального закона от 12.04.2007 N 47-ФЗ)

2. В случае смерти потерпевшего уголовное дело возбуждается путем подачи заявления его близким родственником или в порядке, установленном частью третьей настоящей статьи.

3. Уголовное дело возбуждается следователем, а также с согласия прокурора дознавателем в случаях, предусмотренных частью четвертой статьи 20 настоящего Кодекса. При этом следователь приступает к производству предварительного расследования, а дознаватель - дознания.

(часть третья в ред. Федерального закона от 05.06.2007 N 87-ФЗ)

4. Вступление в уголовное дело прокурора не лишает стороны права на примирение.

5. Заявление должно содержать:

1) наименование суда, в который оно подается;

2) описание события преступления, места, времени, а также обстоятельств его совершения;

3) просьбу, адресованную суду, о принятии уголовного дела к производству;

3.1) данные о потерпевшем, а также о документах, удостоверяющих его личность;

(п. 3.1 введен Федеральным законом от 12.04.2007 N 47-ФЗ)

4) данные о лице, привлекаемом к уголовной ответственности;

5) список свидетелей, которых необходимо вызвать в суд;

6) подпись лица, его подавшего.

6. Заявление подается в суд с копиями по числу лиц, в отношении которых возбуждается уголовное дело частного обвинения. Заявитель предупреждается об уголовной ответственности за заведомо ложный донос в соответствии со статьей 306 Уголовного кодекса Российской Федерации, о чем в заявлении делается отметка, которая удостоверяется подписью заявителя. Одновременно мировой судья разъясняет заявителю его право на примирение с лицом, в отношении которого подано заявление.

(в ред. Федерального закона от 12.04.2007 N 47-ФЗ)

7. С момента принятия судом заявления к своему производству, о чем выносится постановление, лицо, его подавшее, является частным обвинителем. Ему должны быть разъяснены права, предусмотренные статьями 42 и 43 настоящего Кодекса, о чем составляется протокол, подписываемый судьей и лицом, подавшим заявление.

(в ред. Федерального закона от 12.04.2007 N 47-ФЗ)

8. Если после принятия заявления к производству будет установлено, что потерпевший в силу зависимого или беспомощного состояния либо по иным причинам не может защищать свои права и законные интересы, то мировой судья вправе признать обязательным участие в деле законного представителя потерпевшего и прокурора.

(часть восьмая введена Федеральным законом от 12.04.2007 N 47-ФЗ)