Могу ли я подать в суд на работодателя, который не выдал мне расчет?!

Рекомендую поторопиться с обращением в суд, т.к. срок исковой давности по делам об увольнении 1 месяц со дня увольнения, ст. 392 ТК РФ -

Работник имеет право обратиться в суд за разрешением индивидуального трудового спора в течение трех месяцев со дня, когда он узнал или должен был узнать о нарушении своего права, а по спорам об увольнении - в течение одного месяца со дня вручения ему копии приказа об увольнении либо со дня выдачи трудовой книжки.

Работодатель имеет право обратиться в суд по спорам о возмещении работником ущерба, причиненного работодателю, в течение одного года со дня обнаружения причиненного ущерба.

При пропуске по уважительным причинам сроков, установленных частями первой и второй настоящей статьи, они могут быть восстановлены судом.

Работодатель же нарушил ст. 140 ТК РФ -

При прекращении трудового договора выплата всех сумм, причитающихся работнику от работодателя, производится в день увольнения работника. Если работник в день увольнения не работал, то соответствующие суммы должны быть выплачены не позднее следующего дня после предъявления уволенным работником требования о расчете.

В случае спора о размерах сумм, причитающихся работнику при увольнении, работодатель обязан в указанный в настоящей статье срок выплатить не оспариваемую им сумму.

Если у Вас нету документального подтверждения, что вы работали, будет сложнее. Придется доказывать сам факт трудовых отношений. Доказательствами этого могут служить как показания свидетелей, так и любые иные письменные доказателсьтва.