Я имею право знать регистрационный номер своего юриста? Какие еще данные о нем нужны?

Посмотрите свой договор с юристом, там есть все его данные. Вообще, конкретно у юристов, каких-то "регистрационных номеров" не существует.

Есть адвокаты, у них есть определенный номер в реестре адвокатов. Относительно других юристов, они могут быть зарегистрированы как ИП или вести деятельность в рамках той или иной организации, у которых тоже есть ИНН, ОГРН.