Мой опыт находки ценной вещи в торговом центре - куда она попадает и как я могу заявить свое право на нее?

Да, можете:

ГК РФ

Статья 227

1. Нашедший потерянную вещь обязан немедленно уведомить об этом лицо, потерявшее ее, или собственника вещи или кого-либо другого из известных ему лиц, имеющих право получить ее, и возвратить найденную вещь этому лицу.

Если вещь найдена в помещении или на транспорте, она подлежит сдаче лицу, представляющему владельца этого помещения или средства транспорта. В этом случае лицо, которому сдана находка, приобретает права и несет обязанности лица, нашедшего вещь.

2. Если лицо, имеющее право потребовать возврата найденной вещи, или место его пребывания неизвестны, нашедший вещь обязан заявить о находке в полицию или в орган местного самоуправления.

3. Нашедший вещь вправе хранить ее у себя либо сдать на хранение в полицию, орган местного самоуправления или указанному ими лицу.

Скоропортящаяся вещь или вещь, издержки по хранению которой несоизмеримо велики по сравнению с ее стоимостью, может быть реализована нашедшим вещь с получением письменных доказательств, удостоверяющих сумму выручки. Деньги, вырученные от продажи найденной вещи, подлежат возврату лицу, управомоченному на ее получение.

4. Нашедший вещь отвечает за ее утрату или повреждение лишь в случае умысла или грубой неосторожности и в пределах стоимости вещи.

Статья 228. Приобретение права собственности на находку

1. Если в течение шести месяцев с момента заявления о находке в полицию или в орган местного самоуправления (пункт 2 статьи 227) лицо, управомоченное получить найденную вещь, не будет установлено или само не заявит о своем праве на вещь нашедшему ее лицу либо в полицию или в орган местного самоуправления, нашедший вещь приобретает право собственности на нее.

2. Если нашедший вещь откажется от приобретения найденной вещи в собственность, она поступает в муниципальную собственность.