Право организации на заключение договора подряда с гражданином Украины без разрешения на работу в РФ

Нет, не имеет. Исключения, правда, тоже есть:

"Статья 13. Условия участия иностранных граждан в трудовых отношениях

...

4. Работодатель и заказчик работ (услуг) имеют право привлекать и использовать иностранных работников только при наличии разрешения на привлечение и использование иностранных работников.

Иностранный гражданин имеет право осуществлять трудовую деятельность только при наличии разрешения на работу. Указанный порядок не распространяется на иностранных граждан:

1) постоянно проживающих в Российской Федерации;

2) являющихся участниками Государственной программы по оказанию содействия добровольному переселению в Российскую Федерацию соотечественников, проживающих за рубежом, и членов их семей, переселяющихся совместно с ними в Российскую Федерацию;

3) являющихся сотрудниками дипломатических представительств, работниками консульских учреждений иностранных государств в Российской Федерации, сотрудниками международных организаций, а также частными домашними работниками указанных лиц;

4) являющихся работниками иностранных юридических лиц (производителей или поставщиков), выполняющих монтажные (шефмонтажные) работы, сервисное и гарантийное обслуживание, а также послегарантийный ремонт поставленного в Российскую Федерацию технического оборудования;

5) являющихся журналистами, аккредитованными в Российской Федерации;

6) обучающихся в Российской Федерации в образовательных учреждениях профессионального образования и выполняющих работы (оказывающих услуги) в течение каникул;

7) обучающихся в Российской Федерации в образовательных учреждениях профессионального образования и работающих в свободное от учебы время в качестве учебно-вспомогательного персонала в тех образовательных учреждениях, в которых они обучаются;

8) приглашенных в Российскую Федерацию в качестве преподавателей для проведения занятий в образовательных учреждениях, за исключением лиц, въезжающих в Российскую Федерацию для занятия преподавательской деятельностью в учреждениях профессионального религиозного образования (духовных образовательных учреждениях)."

Федеральный закон от 25 июля 2002 г. N 115-ФЗ "О правовом положении иностранных граждан в Российской Федерации" (с изменениями от 6 января 2007 г.)