Каковы мои шансы с выкупом 1/4 доли у собственника?

Если бы Вы с ребёнком были зарегистрированы по месту жительства в указанной квартире, то принудить Вас к продаже долей было бы невозможно. Цену (если намерены сами продавать) назначает продавец. Незначительность применительно к ст.252 ГК РФ определяется как величиной доли, так и невозможностью ею пользоваться (не составляет отдельной комнаты по площади) и наличием у собственника другого жилья, в котором он зарегистрирован по месту жительства. В данном случае в квартире никто из сособственников не проживает. Каждый может (если захочет) продавать свою долю с соблюдением права преимущественной покупки (ст.250 ГК РФ). Споров о цене быть не может, т.к цену назначает продавец. Если сособственник не купит долю за назначенную цену, считая её завышенной, то её купит любой найденный покупатель по цене не ниже назначенной (при понижении цены придётся извещать сособственника снова). Выгоднее всего договориться о продаже всей квартиры с одновременной покупкой не худшей доли для несовершеннолетнего, чтобы получить согласие органа опеки на продажу. Полученная сумма делится по долям между продавцами. Если хотите попробовать прекратить право общей долевой собственности со свекровью на квартиру с выплатой ей компенсации, то производите оценку квартиры с осмотром у оценщика, являющегося членом саморегулируемой организации оценщиков. Если свекровь зарегистрируется в квартире по месту жительства, то в иске будет однозначно отказано, поэтому в обеспечение иска стоит просить суд наложить арест на квартиру и запретить регистрацию.