Как ему нужно уволиться: по старости или по состоянию здоровья?

Нет такого основания увольнения - по старости. Может быть по собственному желанию, в связи с выходом на пенсию. Никаких выплат в таком случае не предусматривается - увольнение по собственному желанию.

По состоянию здоровья - необходимо получать соответствующее медицинское заключение о невозможности работать в указанной должности (это не просто наличие инвалидности). В этом случае предусматривается выходное пособие.

ТК РФ.

"

Статья 178. Выходные пособия

Выходное пособие в размере двухнедельного среднего заработка выплачивается работнику при расторжении трудового договора в связи с:

отказом работника от перевода на другую работу, необходимого ему в соответствии с медицинским заключением, выданным в порядке, установленном федеральными законами и иными нормативными правовыми актами Российской Федерации, либо отсутствием у работодателя соответствующей работы (пункт 8 части первой статьи 77 настоящего Кодекса);

призывом работника на военную службу или направлением его на заменяющую ее альтернативную гражданскую службу (пункт 1 части первой статьи 83 настоящего Кодекса);

восстановлением на работе работника, ранее выполнявшего эту работу (пункт 2 части первой статьи 83 настоящего Кодекса);

отказом работника от перевода на работу в другую местность вместе с работодателем (пункт 9 части первой статьи 77 настоящего Кодекса);

признанием работника полностью неспособным к трудовой деятельности в соответствии с медицинским заключением, выданным в порядке, установленном федеральными законами и иными нормативными правовыми актами Российской Федерации (пункт 5 части первой статьи 83 настоящего Кодекса);

Статья 83. Прекращение трудового договора по обстоятельствам, не зависящим от воли сторон

Трудовой договор подлежит прекращению по следующим обстоятельствам, не зависящим от воли сторон:

1) призыв работника на военную службу или направление его на заменяющую ее альтернативную гражданскую службу;

2) восстановление на работе работника, ранее выполнявшего эту работу, по решению государственной инспекции труда или суда;

3) неизбрание на должность;

4) осуждение работника к наказанию, исключающему продолжение прежней работы, в соответствии с приговором суда, вступившим в законную силу;

5) признание работника полностью неспособным к трудовой деятельности в соответствии с медицинским заключением, выданным в порядке, установленном федеральными законами и иными нормативными правовыми актами Российской Федерации".