Может ли отказать в регистрации при прописке годовалого ребенка в не приватизированной квартире с большой задолженностью?

Не имеют право,но вы станете "членом семьи", а в подобных случаях при взыскании задолженности вы солидарно отвечаете(конечно с момента вашей регистрации),а платит на деле тот у кого есть доход(работа,пенсия).