Можно жене написать заявление на увольнение и получить трудовую книжку мужа?

Вообще-то нет.

Разве что такое в практике встречается, когда по согласию сторон происходит расторжение трудового договора, т.е. работодатель также согласен.

Статья 38. Расторжение трудового договора, заключенного на неопределенный срок, по инициативе работника

Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, заключенный на неопределенные срок, предупредив об этом собственника или Уполномоченный им орган письменно за две недели. В случае, когда заявление работника об увольнении с работы по собственному желанию обусловлено невозможностью продолжать работу (переезд на новое место жительства; перевод мужа или жены на работу в другую местность; поступление в учебное заведение; невозможность проживания в данной местности, подтвержденная медицинским заключением, беременность, уход за ребенком в достижения им четырнадцатилетнего возраста или ребенком-инвалидом, уход за больным членом семьи в согласовании с медицинским заключением или инвалидом I группы, выход на пенсию, принятие на работу по конкурсу, а также по другому уважительным причинам), собственник или Уполномоченный им орган должен расторгнуть трудовой договор в срок, в котором просит работник.

Если работник по истечение срока предупреждения об увольнении НЕ оставил работы и не просит расторжения трудового договора, собственник или Уполномоченный им орган не вправе уволить его по представленном ранее заявлению, кроме случаев, когда на его место приглашений другой работник, которому в согласовании с законодательством быть не может быть отказано в заключении трудового договора.

Работник имеет право в определенный им срок расторгнуть трудовой договор по собственному желанию, если собственник или Уполномоченный им орган не выполняет законодательство о труде, условия коллективного или трудового договора.

Конечно уволят за прогул, надо было почтой за 2 недели до окончания отпуска уведомить об увольнении по собственному желанию.

Напечатайте заявление, распишитесь за него и отправьте работодателю почтой с требованием выслать документы почтой (трудовую)

Вот, что прогулы пошли , это плохо, возможно придется спор с работодателем решать в судебном порядке.

Вы можете представлять интересы мужа в суде по доверенности, или юрист/адвокат.