И что делать, если он не будет являться в суд, и не даст доверенность на операции с квартирой.

Уважаемая Евгения! Если квартира куплена в период брака на совместно нажитые средства, то Вы можете как определить доли по соглашению с бывшим мужем, удостоверенному нотариусом, так и при несогласии бывшего мужа определить доли в праве собственности в судебном порядке. Конечно можно определить доли как равные- ст. ст.34, 38, 39 СК РФ, но если Вы намерены продавать свою долю потом и уверены, что бывший муж, имеющий право преимущественной покупки продаваемой доли(ст.250 ГК РФ), не купит Вашу долю, то более целесообразно определять доли соразмерно комнатам с денежной компенсацией, правда надо учитывать, что любые сделки с квартирой производятся только с согласия органа опеки и попечительства, который следит за соблюдением прав несовершеннолетнего и требует обращения обоих родителей за получением разрешения, поэтому целесообразно сначала решить вопрос о лишении отца ребёнка родительских прав, если он не платит алименты и воспитанием ребёнка не занимается(ст.69 СК РФ). Если ответчик будет надлежаще извещён о слушании дела и не представит суду ходатайства об отложении дела слушанием по уважительным причинам(болезнь, командировка и.т.п.), то суд может рассмотреть дело в отсутствии ответчика.