И как правильно поступить если она не хочет оплачивать кварплату за ребенка и требует деньги за него.

Уважаемая Инга! Если ребенок был просто зарегистрирован в квартире, но никогда не вселялся и не проживал в ней, то бывшая свекровь может обратиться в суд с иском о признании его не приобретшим права пользования данной квартирой, и решение суда, скорее всего будет в ее пользу - такова судебная практика. Вы будете принимать участие в суде, как законный представитель ребенка, поэтому это будет с Вашего ведома, и Вы сможете предоставлять свои доказательства, но прогноз для Вас - неблагоприятный. Проще не доводить до этого и вносить ту долю. которую просит свекровь. С уважением, Дмитрий Константинович.