Как передать права на собственность квартиры сыну, если собственники - мама и он?

Такое невозможно согласно п. 3 ст. 37 ГК РФ: "Опекун, попечитель, их супруги и близкие родственники не вправе совершать сделки с подопечным, за исключением передачи имущества подопечному в качестве дара или в безвозмездное пользование, а также представлять подопечного при заключении сделок или ведении судебных дел между подопечным и супругом опекуна или попечителя и их близкими родственниками".

Можно маме только подарить своему ребёнку долю в квартире 2.

Квартира 1 неприкасаема.

По первой квартире - на сделку с имуществом ребенка получить согласие органа опеки - ст. 60 СК и ст. 37 ГК

По второй квартире можно только подарить долю сыну по сделке дарения - см. ст. 37 ГК

ст. 60 СК

При осуществлении родителями правомочий по управлению имуществом ребенка на них распространяются правила, установленные гражданским законодательством в отношении распоряжения имуществом подопечного (статья 37 Гражданского кодекса Российской Федерации).

ст. 37 ГК

2. Опекун не вправе без предварительного разрешения органа опеки и попечительства совершать, а попечитель - давать согласие на совершение сделок по отчуждению, в том числе обмену или дарению имущества подопечного, сдаче его внаем (в аренду), в безвозмездное пользование или в залог, сделок, влекущих отказ от принадлежащих подопечному прав, раздел его имущества или выдел из него долей, а также любых других действий, влекущих уменьшение имущества подопечного.

Порядок управления имуществом подопечного определяется Федеральным законом "Об опеке и попечительстве".

3. Опекун, попечитель, их супруги и близкие родственники не вправе совершать сделки с подопечным, за исключением передачи имущества подопечному в качестве дара или в безвозмездное пользование, а также представлять подопечного при заключении сделок или ведении судебных дел между подопечным и супругом опекуна или попечителя и их близкими родственниками.