Свекровь попросила меня выписаться из квартиры, ребёнка согласна прописать у себя, меня отправляет к моей маме.

Зависит от того в чьей собственности находиться квартира. Если квартира в собственности свекрови - она имеет полное право выселить Вас (если не в добровольном порядке, то по решению суда это точно), тем более Вам есть где жить.

В случае если квартира в собственности Вашего мужа - он тоже вправе выселить Вас согласно ст.31 ЖК (в случае прекращения семейных отношений с собственником

жилого помещения право пользования данным жилым помещением за

бывшим членом семьи собственника этого жилого помещения не

сохраняется, если иное не установлено соглашением между

собственником и бывшим членом его семьи. Если у бывшего члена

семьи собственника жилого помещения отсутствуют основания

приобретения или осуществления права пользования иным жилым

помещением, а также если имущественное положение бывшего члена

семьи собственника жилого помещения и другие заслуживающие

внимания обстоятельства не позволяют ему обеспечить себя иным

жилым помещением, право пользования жилым помещением,

принадлежащим указанному собственнику, может быть сохранено за

бывшим членом его семьи на определенный срок на основании решения

суда). ТОлько по решению суда или по соглашению со своим бывшим Вы сможете продолжать жить в этой квартире.