И могут ли у меня отсудить квартиру, особенно если в завещании не верно указана дата моего рождения.

Для Вас сейчас главное вступить в права наследования: необходимо обратиться к нотариусу по месту нахождения наследуемого недвижимого имущества (квартиры) и написать соответствующее заявление. Если в завещании Ваша девичья фамилия - приложите к заявлению копии своего свидетельства о рождении, копии свидетельств, отражающих переход фамилии (это могут быть свидетельства о браке или справки о браке, свид. о разводе, о премене фамилии). Пообщайтесь с нотариусом о том, какое решение он склонен принять относительно оформления на Вас наследства (в связи с ошибкой в дате рождения) и если он склонен отказать Вам - после получения отказа пишите опротестовывающий его решение иск в суд. Относительно притензий родственников - не вступайте с ними в переговоры - пусть пробуют взыскать стоимость ремонта в суде: для этого им понадобиться доказать и факт ремонта, и его стоимость, и то, что бабушка вообще им должна была его оплатить (как суду определить: может это был их подарок умершей? Лично Вы ремонт оплачивать не должны, максимум что может произойти (и то сомнительно) - это вынесение судом решения о выделении им некоторой части наследуемого имущества (и не обязательно квартиры, если есть иное движимое имущество) в качестве оплаты долга умершей. Завещание, составленное ранее, после написания последующего потеряло юридическую силу. Если нотариус не признает из-за ошибки Вас наследницей, соответственно будет наследование по закону: если у бабушки осталось из близких родственников только 2 внучки (Вы и Ваша сестра двоюродная), то и наследуете вы вдвоем в равных долях (по 1/2 квартиры).