В случае её смерти, будет ли иметь право на эту квартиру данное учреждение?

Из сути вопроса следует, что квартира находится в муниципальной собственности и предоставлена по договору социального найма, следовательно квартира находится в государственной собственности и отчуждению не подлежит, за исключением приватизации жилья в соответствии с Законом РФ "О приватизации жилищного фонда в Российской Федерации" от 04 июля 1991 года фонда" № 1541-I. Учитывая то, что за матерью ответственного квартиросъемщика сохраняется пожизненное право пользования жилым помещением (п. 10 ч. 1 ст. 12 Федерального закона "О социальном обслуживании граждан пожилого возраста и инвалидов" от 2 августа 1995 г. N 122-ФЗ), было бы целесообразнее взять с нее отказ от приватизации. Пансионат не вправе предъявлять требования к жилым помещениям, даже находящимся в собственности (ч. 3 ст. 31 Федерального закона "О социальном обслуживании граждан пожилого возраста и инвалидов" от 2 августа 1995 г. N 122-ФЗ). Денежные средства, в том числе находящиеся на банковских счетах, а также средства от реализации имущества граждан пожилого возраста и инвалидов, проживавших и умерших в стационарных учреждениях социального обслуживания, не оставивших завещания и не имевших наследников, переходят в собственность государства и могут направляться на развитие социального обслуживания. Контроль за целевым расходованием указанных средств осуществляется органами социальной защиты населения.