Возможно ли продление трудового договора, заключенного по статье 59 ТК на неопределенный срок? Или это ошибка кадровых служб и при продлении срочного договора он автоматически становится бессрочным?

ст. 58 ТК РФ.

В случае, когда ни одна из сторон не потребовала расторжения срочного трудового договора в связи с истечением срока его действия и работник продолжает работу после истечения срока действия трудового договора, условие о срочном характере трудового договора утрачивает силу и трудовой договор считается заключенным на неопределенный срок.

В силу ч. 4 ст. 58 ТК РФ, если ни одна из сторон не потребовала расторжения трудового договора в связи с истечением срока его действия, а работник продолжает работать, условие о срочном характере договора утрачивает силу. Трудовой договор в таком случае становится заключенным на неопределенный срок. Поэтому, если до момента прекращения договора условие о сроке трудового договора не будет изменено по соглашению сторон и ни одна из сторон не потребует расторжения срочного трудового договора, а работник продолжит работу, договор станет бессрочным

До истечения срока трудового договора с работником можно заключить дополнительное соглашение к трудовому договору об изменении срока его действия, если не отпали обстоятельства, в связи с которыми договор заключен на определенный срок.

В данном случае срочный договор продлен на неопределенный срок, соответственно имеется риск признания договора бессрочным.