Лечу заграницу и беспокоюсь о наличии задолженностей - что если меня нет в базе ФССП и каковы последствия невыплаты налога на имущество?

Нет, не будет, т.к. долг менее 10000 р. См. ст. 67 Федерального закона от 02.10.2007 N 229-ФЗ "Об исполнительном производстве"

Статья 67. Временные ограничения на выезд должника из Российской Федерации

1. При неисполнении должником-гражданином или должником, являющимся индивидуальным предпринимателем, в установленный для добровольного исполнения срок без уважительных причин требований, содержащихся в исполнительном документе, сумма задолженности по которому превышает десять тысяч рублей, или исполнительном документе неимущественного характера, выданных на основании судебного акта или являющихся судебным актом, судебный пристав-исполнитель вправе по заявлению взыскателя или собственной инициативе вынести постановление о временном ограничении на выезд должника из Российской Федерации.

2. Судебный пристав-исполнитель вправе также вынести постановление о временном ограничении на выезд должника из Российской Федерации по заявлению взыскателя в случае, предусмотренном частью 2 статьи 30 настоящего Федерального закона, если предъявленный взыскателем к исполнению исполнительный документ выдан на основании судебного акта или является судебным актом.

3. Постановление о временном ограничении на выезд должника из Российской Федерации утверждается старшим судебным приставом или его заместителем. Копии указанного постановления направляются должнику, в территориальный орган федерального органа исполнительной власти, уполномоченного на осуществление функций по контролю и надзору в сфере миграции, и в пограничные органы.

4. Если исполнительный документ, сумма задолженности по которому превышает десять тысяч рублей, или исполнительный документ неимущественного характера выданы не на основании судебного акта или не являются судебным актом, то взыскатель или судебный пристав-исполнитель вправе обратиться в суд с заявлением об установлении для должника временного ограничения на выезд из Российской Федерации.

Нет, не будет проблем.Вам не могли за это ограничить выезд (ст. 67 ФЗ "Об исполнительном производстве")

Нет, проблем быть не должно

На сайте могут и не сразу выложить сведения.

Однако взыскание недоимки по налогам происходит в судебном порядке, поэтому Вы как-минимум должны были судебный приказ получить почтой, затем требование-предупреждение Вам уже вышлет судебный пристав-исполнитель.

Даже если Вы не получаете почту, знайте, что ограничение на выезд из РФ может быть наложено судебным приставом-исполнителем только если сумма задолженности по исполнительному документу превышает десять тысяч рублей (согласно ст.67 Федерального закона от 02.10.2007 N 229-ФЗ "Об исполнительном производстве").

Если налог на имущество меньше этой суммы, то не переживайте.