Может ли банк забрать квартиру моих родителей, собственником которой я не являюсь?

Смысл поручительства заключается в гарантиях выплат по кредиту. То есть если квартира не сгорела, заемщик жив, но платить перестает. В таком случае обязанность по оплате ложится на поручителя.

1. Ответственность поручителя - такая же, как и заёмщика; кредитор может потребовать всю сумму с поручителя, либо всю сумму с заёмщика, либо солидарно, либо в долях - по собственному усмотрению (ст.322 ГК РФ).

2. Обычно в договорах кредита пишут, что страховое возмещение после того, как оно получено банком, направляется на погашение задолженности; часть страхового возмещения, оставшаяся после погашения задолженности, выплачивается банком заёмщику. Но в любом случае не стоит обольщаться: страхование, к сожалению, не отменяет обязательств ни заёмщика, ни его поручителей. Если что-то произошло, это не повод останавливать платежи по кредиту (ст.309, 310 ГК РФ); только после получения возмещения банком платежи можно прекратить (и то удостоверившись, что сумма возмещения оказалась достаточна для погашения долга).

3. Попросить - могут, но не более того. "Обязательства должны исполняться", написано в ст.309 ГК РФ.

4. Нет, не отвечают, см.ст.21 ГК РФ (если дееспособен, отвечает сам). Исключение - супруги (в части совместно нажитого имущества) и наследники (в случае смерти должника, в пределах стоимости унаследованного имущества).