Как уволиться по собственному желанию при изменении состава части в Абхазии?

По собственному желанию уволиться можно, но на практике - довольно проблематично. Вам необходимо обратиться с рапортом и указать УВАЖИТЕЛЬНЫЕ причины. Командир обязан передать Ваш рапорт в аттестационную комиссию, которая и решит, действительно ли Ваши причины уважительные. Отказ аттестационной комиссии или отказ командира утвердить её (положительное) решение можно обжаловать в военном суде.

Основание для увольнения по собственному желанию - п. 6 ст. 51 ФЗ "О воинской обязанности и военной службе":

6. Военнослужащий, проходящий военную службу по контракту, по заключению аттестационной комиссии может быть уволен с военной службы досрочно по собственному желанию при наличии у него уважительных причин.

Из комментария А.В. Кудашкина и др:

Под уважительными причинами увольнения с военной службы по собственному желанию подразумеваются обстоятельства (условия) увольнения, не вошедшие в другие основания увольнения, указанные в комментируемой статье и не позволяющие военнослужащему в полном объеме выполнять условия заключенного контракта. Подобные причины рассматриваются аттестационной комиссией, созданной в воинской части.

Перечень уважительных причин, которые могут быть поводом для увольнения военнослужащего по собственному желанию, не установлен законодательством. Среди них могут быть вопросы, связанные с отсутствием возможности содержать семью военнослужащего на денежное довольствие, которое он получает (например, размер денежного довольствия, приходящийся на каждого члена семьи военнослужащего, ниже прожиточного минимума, при отсутствии иных источников дохода у членов семьи), нахождение на руках у военнослужащего малолетних детей, которые содержатся без отца (матери), хотя отец (мать) этих детей не лишен родительских прав, но уклоняется от их содержания и воспитания (при отсутствии оснований для увольнения по семейным обстоятельствам), беременность военнослужащей и другие случаи.

В практике известен случай, когда аттестационная комиссия части сочла уважительной причиной отсутствие возможности для военнослужащего максимально использовать свой уровень образования на занимаемой воинской должности при невозможности назначения на другую должность.