Может ли заместитель руководителя проводить внезапную проверку старшего воспитателя без приказа?

Нет, заместитель руководителя не является уполномоченным лицом

Если нет прямого подчинения, то для организации проверки нужен либо Приказ, подписанный руководителем, либо соответствующий текст в локальном нормативном акте организации (ст. 8 ТК РФ)

Это зависит от того что предусмотрено в локальных актах (ст. 8 ТК РФ)

нужно смотреть обязанности заместителя, если в его обязанности входит проверка ст.воспитателя - правомерно - ст. 8 ТК

Для того, чтобы вмешиваться в работу других лиц не обязательно быть начальником. Поясню на примере. Допустим в должностных обязанностях заместителя руководителя написано, что в он (в числе прочего):

1. Координирует работу воспитателей,

3. Осуществляет контроль качества образовательного процесса,

3. Оказывает помощь педагогическим работникам в освоении и разработке инновационных программ и технологий и т.д. и т.п.

Таким образом то, что вы расценили как проверка, на самом деле могла оказаться "координацией, "контролем" и "методической помощью".

Поэтому советую внимательно разобраться в данном вопросе, прежде чем заявлять заместителю руководителя, что он не знает своих должностных обязанностей и не имеет права вмешиваться в работу воспитателей, в том числе и старших.

.

Обоснование: 8 ТК РФ.