Хочет работать на дому и оформить пособие по уходу на бабушку - возможно ли сохранить трудовой договор?

Нет, так не получится. Пособие получает тот, кто находится в отпуске по уходу за ребенком (ст. 256 ТК РФ)

если бабушка осуществляет постоянный уход за ребенком - зарегистрирована с ним по одному адресу - то может взять отпуск по уходу - см. ст. 256 ТК

Это правомочно.

Родитель ребёнка сам выбирает, что ему делать.

Ст. 256 ТК РФ указывает:

"Отпуска по уходу за ребенком могут быть использованы полностью или по частям также отцом ребенка, бабушкой, дедом, другим родственником или опекуном, фактически осуществляющим уход за ребенком.

По заявлению женщины или лиц, указанных в части второй настоящей статьи, во время нахождения в отпусках по уходу за ребенком они могут работать на условиях неполного рабочего времени или на дому с сохранением права на получение пособия по государственному социальному страхованию.

На период отпуска по уходу за ребенком за работником сохраняется место работы (должность)."

Изучите условия ТД с работником.

Трудовой договор — это добровольное соглашение между работником и работодателем, содержащее предусмотренные ст. 57 ТК РФ обязательные условия: место работы, трудовая функция, дата начала работы, условия оплаты труда, режим рабочего времени и времени отдыха, другие условия в случаях, предусмотренных трудовым законодательством.

Поэтому в случае, если трудовой договор, заключенный с работницей, находящейся в отпуске по уходу за ребенком, не содержит условия о надомном характере работы, изменение режима работы является правом, а не обязанностью работодателя. На основании ст. 72 ТК РФ изменение определенных сторонами условий трудового договора допускается только по соглашению сторон, заключаемого в письменной форме.

Бабушка имеет право оформить отпуск по уходу за ребенком--ст.256ткрф.

поэтому у Вас на выбор:

1.Если ТД работника содержит условия о надомном характере работы--обязаны предоставить такую работу.

2.Если нет----на основании ст. 72 ТК РФ изменение определенных сторонами условий трудового договора допускается только по соглашению сторон, заключаемого в письменной форме.--можете разрешить--но это ваше право, а не обязанность.

3.Если не хотите, Работник может с согласия РД оформить отпуск без сохранения з/п--ст.128ткрф.

4. Или пусть Работник сам оформляет отпуск по ходу за ребенком и получает пособие--ст..256ткрф.

5. Предложите уволиться по соглашению сторон, или по собственному желанию, если оформляет пособие на бабушку.

Бабушка может оформить отпуск по уходом за ребенком и даже получать пособие по уходу за ребенком до 1,5 лет, при условии если она работает, и ни мать ни отец такого пособия по уходу не получают. При фактическом осуществлении ухода за ребенком несколькими лицами пособие по уходу выплачивается одному из них. Статья 256 ТК РФ ; п.4 ст. 11.1 Федерального закона от 29.12.2006 N 255-ФЗ (ред. от 31.12.2014). "Об обязательном социальном страховании на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством"

Работать вам на дому или нет решается соглашением сторон. Статья 72 ТК РФ .