Действительно ли прописаться можно только с согласия этой организации или её отказ неправомерен?

Да, действительно только с согласия собственника жилья, а не его нанимателя.

Основание утверждения - ниже приведенные правила.

Утверждены

Постановлением Правительства

Российской Федерации

от 17 июля 1995 г. N 713

ПРАВИЛА

РЕГИСТРАЦИИ И СНЯТИЯ ГРАЖДАН РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

С РЕГИСТРАЦИОННОГО УЧЕТА ПО МЕСТУ ПРЕБЫВАНИЯ И ПО МЕСТУ

ЖИТЕЛЬСТВА В ПРЕДЕЛАХ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

(в ред. Постановлений Правительства РФ от 23.04.96 N 512,

от 14.02.97 N 172)

III. Регистрация граждан по месту жительства

16. Гражданин, изменивший место жительства, обязан не позднее

7 дней со дня прибытия на новое место жительства обратиться к

должностным лицам, ответственным за регистрацию, и представить:

документ, удостоверяющий личность;

военный билет (временное удостоверение взамен военного билета)

или удостоверение гражданина, подлежащего призыву на военную

службу, - для лиц, обязанных состоять на воинском учете;

заявление установленной формы о регистрации по месту

жительства;

документ, являющийся основанием для заселения в жилое

помещение (ордер, договор, свидетельство о праве на наследство

жилого помещения, решение суда о признании права пользования жилым

помещением, заявление лица, предоставившего гражданину жилое

помещение, либо иной документ или его надлежаще заверенная копия).