Может ли ТСЖ отказать в выдаче справки о прописке из-за наличия долгов за квартиру?

Нет, не имеют права так делать.

Нет, не вправе. Требуйте официальный отказ и обжалуйте его в судебном порядке.

Добрый день!

Вы можете обратиться с Заявлением (2 экземпляра) , главное чтобы на Вашем экземпляре поставили оттиск печати, вх. № и подпись, если откажутся принимать, то можно направить Заявление заказным письмом с уведомлением и описью

Статья 10 Федерального закона "О прокуратуре Российской Федерации". Рассмотрение и разрешение в органах прокуратуры заявлений, жалоб и иных обращений 1. В органах прокуратуры в соответствии с их полномочиями разрешаются заявления, жалобы и иные обращения, содержащие сведения о нарушении законов. Решение, принятое прокурором, не препятствует обращению лица за защитой своих прав в суд. Решение по жалобе на приговор, решение, определение и постановление суда может быть обжаловано только вышестоящему прокурору. 2. Поступающие в органы прокуратуры заявления и жалобы, иные обращения рассматриваются в порядке и сроки, которые установлены федеральным законодательством. 3. Ответ на заявление, жалобу и иное обращение должен быть мотивированным. Если в удовлетворении заявления или жалобы отказано, заявителю должны быть разъяснены порядок обжалования принятого решения, а также право обращения в суд, если таковое предусмотрено законом. 4. Прокурор в установленном законом порядке принимает меры по привлечению к ответственности лиц, совершивших правонарушения. 5. Запрещается пересылка жалобы в орган или должностному лицу, решения либо действия которых обжалуются.